1 Μήκος τόξου
Μήκος τόξου: Για να υπολογίσουμε το μήκος ενός τόξου \(l\) σε μοίρες (\(\mu^\circ\)), χρησιμοποιούμε τον τύπο \(l = 2\pi\rho \cdot \frac{\mu}{360}\).
Ακτίνιο (rad): Είναι μονάδα μέτρησης τόξων. 1 Ακτίνιο είναι το τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα \(\rho\) του κύκλου.
Αν ένας κύκλος έχει ακτίνα 4 cm ==> και 1 ακτίνιο αυτού του κύκλου θα έχει μήκος 4 cm. Αν ένας κύκλος έχει ακτίνα 14,8 cm ==> και 1 ακτίνιο αυτού του κύκλου θα έχει μήκος 14,8 cm. ………………. ………………..
Σχέση μήκους τόξου και ακτινίων: Το μήκος ενός τόξου \(l\) που αντιστοιχεί σε γωνία \(\alpha\) ακτινίων δίνεται από τη σχέση \(l = \alpha \cdot \rho\).
Σχέση μοιρών και ακτινίων: Η μετατροπή μεταξύ μοιρών (\(\mu\)) και ακτινίων (\(\alpha\)) γίνεται μέσω της αναλογίας \(\frac{\mu}{180} = \frac{\alpha}{\pi}\).
1.1 Αποδείξεις των τύπων
Μήκος τόξου (σε μοίρες): Προκύπτει με την απλή μέθοδο των τριών.
Γνωρίζουμε ότι ένας πλήρης κύκλος \(360^\circ\) έχει μήκος ίσο με την περιφέρεια \(L = 2\pi\rho\). Επομένως, αν ένα τόξο \(\mu\) μοιρών έχει μήκος \(l\) τότε θα ισχύει
| Τόξο | Μήκος |
|---|---|
| \(360^\circ\) | 2πρ |
| \(μ^\circ\) | l |
\[\frac{360^o}{μ^o}=\frac{2πρ}{l}\] Λύνοντας θα έχουμε : \(l = 2\pi\rho \cdot \frac{\mu}{360}\).
- Μήκος τόξου (σε ακτίνια): Το ακτίνιο (rad) ορίζεται ως η μονάδα μέτρησης όπου το τόξο έχει μήκος ίσο με την ακτίνα \(\rho\) του κύκλου. Iσχύει ότι:
| Τόξο | Μήκος |
|---|---|
| \(360^\circ = 2\pi \) ακτίνια \( (\text{ακτίνες})\) | \(2π\)ρ \(= \textbf{2π}\) ακτίνια \((rad)\) |
| \(\textbf{α ακτίνια}\) | \(l=α\cdot\textbf{ακτίνες}=α\cdotρ\) |
Συνεπώς, αν μια γωνία είναι \(\alpha\) ακτίνια, το μήκος του αντίστοιχου τόξου \(l\) θα είναι το γινόμενο της γωνίας επί την ακτίνα: \(l = \alpha \cdot \rho\).
Σχέση μοιρών και ακτινίων: Η σχέση αυτή προκύπτει αν εξισώσουμε τους δύο παραπάνω τύπους για το ίδιο μήκος τόξου \(l\): \[2\pi\rho \cdot \frac{\mu}{360} = \alpha\cdot\rho\].
Απλοποιώντας την ακτίνα \(\rho\) και από τα δύο μέλη και διαιρώντας το 2 με το 360, καταλήγουμε στην αναλογία: \[\frac{\mu}{180} = \frac{\alpha}{\pi}\].
1.2 Παραδείγματα
1. Μήκος τόξου (σε μοίρες)
* Παράδειγμα 1: Υπολογισμός του μήκους ενός τεταρτοκυκλίου (τόξο \(90^\circ\)) σε κύκλο με ακτίνα \(\rho = 8\) cm.
Εφαρμόζοντας τον τύπο \(l = 2\pi\rho \cdot \frac{\mu}{360}\), προκύπτει \(l = 2 \cdot 3,14 \cdot 8 \cdot \frac{90}{360} \approx 12,56\) cm.
* Παράδειγμα 2: Εύρεση της ακτίνας όταν γνωρίζουμε το μήκος.
Αν ένα τόξο \(30^\circ\) έχει μήκος \(l = 1,3\) cm, τότε από τη σχέση \(l = \frac{\pi\rho\mu}{180}\) βρίσκουμε \(1,3 = 3,14 \cdot \rho \cdot \frac{30}{180}\), άρα \(\rho \approx 2,48\) cm.
2. Ακτίνιο (rad)
* Παράδειγμα 1: Διάταξη τόξων από το μικρότερο στο μεγαλύτερο. Για να συγκρίνουμε τόξα όπως τα \(\frac{\pi}{4}\) rad, \(\frac{3\pi}{2}\) rad και \(25^\circ\), τα μετατρέπουμε όλα στην ίδια μονάδα (π.χ. \(\frac{\pi}{4} \text{ rad} = 45^\circ\)).
* Παράδειγμα 2: Αντιστοίχιση πλήρους κύκλου. Ένας πλήρης κύκλος \(360^\circ\) αντιστοιχεί σε \(2\pi\) ακτίνια, ενώ ένας ημικύκλιος \(180^\circ\) αντιστοιχεί σε \(\pi\) ακτίνια.
3. Σχέση μήκους τόξου και ακτινίων (\(l = \alpha \cdot \rho\))
* Παράδειγμα 1: Σύγκριση τόξων σε διαφορετικούς κύκλους.
Σε έναν κύκλο ακτίνας \(\rho\), ένα ημικύκλιο (\(\alpha = \pi\) rad) έχει μήκος \(l = \pi\rho\). Σε έναν κύκλο διπλάσιας ακτίνας \(2\rho\), ένα τεταρτοκύκλιο (\(\alpha = \frac{\pi}{2}\) rad) έχει επίσης μήκος \(l = \frac{\pi}{2} \cdot 2\rho = \pi\rho\).
* Παράδειγμα 2: Υπολογισμός ακτίνας από τόξο σε rad. Αν ένας κυκλικός τομέας γωνίας \(120^\circ\) (που ισούται με \(\frac{2\pi}{3}\) rad) έχει μήκος τόξου \(6\pi\) cm, η ακτίνα του κύκλου είναι \(\rho = \frac{l}{\alpha} = \frac{6\pi}{\frac{2\pi}{3}} = 9\) cm.
4. Σχέση μοιρών και ακτινίων (\(\frac{\mu}{180} = \frac{\alpha}{\pi}\))
* Παράδειγμα 1: Μετατροπή από μοίρες σε ακτίνια. Για να βρούμε πόσα rad είναι οι \(225^\circ\), λύνουμε την αναλογία: \(\frac{225}{180} = \frac{\alpha}{\pi}\), που δίνει \(\alpha = \frac{5\pi}{4}\) rad.
* Παράδειγμα 2: Μετατροπή από ακτίνια σε μοίρες. Για να μετατρέψουμε τα \(\frac{\pi}{3}\) rad σε μοίρες, έχουμε: \(\frac{\mu}{180} = \frac{\frac{\pi}{3}}{\pi} \Rightarrow \mu = \frac{180}{3} = 60^\circ\).
1.3 Ασκήσεις
Μετατροπή μοιρών σε ακτίνια Μετέτρεψε τις παρακάτω γωνίες από μοίρες σε ακτίνια:
α) 90° β) 180° γ) 270° δ) 360° ε) 60°Μετατροπή ακτινίων σε μοίρες Μετέτρεψε σε μοίρες:
α) \(\frac{\pi}{2}\) β) \(\pi\) γ) \(2\pi\) δ) \(\frac{3\pi}{2}\) ε) \(\frac{\pi}{3}\)Μήκος τόξου – βασικός τύπος Δίνεται κύκλος ακτίνας (ρ = 10) cm.
Υπολόγισε το μήκος τόξου γωνίας \(θ = 60^\circ\) (μετατρέποντάς την πρώτα σε ακτίνια).Μήκος τόξου από ακτίνια
Σε κύκλο ακτίνας (ρ = 8) m, ένα τόξο αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία \(θ = \frac{\pi}{4}\) rad.
Βρες το μήκος του τόξου.
- Ημικύκλιο
Ένα ημικύκλιο έχει ακτίνα (ρ = 5) cm.
Πόση είναι η περίμετρος του σχήματος;
- Τεταρτοκύκλιο
Υπολόγισε την περίμετρο ενός τεταρτοκύκλιου (γωνία 90°) ακτίνας (ρ = 12) m.
- Τομέας κύκλου – μήκος τόξου
Μια επίκεντρη γωνία σε κύκλο ακτίνας 9 cm είναι \(120^\circ\)
Βρες το μήκος του αντίστοιχου τόξου της.
- Εύρεση ακτίνας από μήκος τόξου
Ένα τόξο μήκους \(15\pi\) cm αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία \(\frac{5\pi}{6}\) rad.
Βρες την ακτίνα του κύκλου. Θυμήσου :\(l=αρ\)
- Εύρεση γωνίας σε μοίρες
Το μήκος ενός τόξου είναι 8 cm σε κύκλο ακτίνας 12 cm.
Βρες την κεντρική γωνία σε μοίρες ( \(\pi \approx 3,14\)).
(Υπόδειξη: πρώτα βρες την γωνία σε rad \(l=αρ\), μετά μετέτρεψε)
- Σύνθετο σχήμα – περίμετρος
Ένα σχήμα αποτελείται από ένα ορθογώνιο πλάτους 4 cm και μήκους 10 cm, και πάνω στη μικρή πλευρά του είναι προσαρμοσμένο ένα ημικύκλιο (με διάμετρο ίση με το πλάτος).
Βρες την περίμετρο του σχήματος.
(Σχέδιο: ορθογώνιο με ημικύκλιο πάνω στη μία μικρή πλευρά)
- Τεταρτοκύκλιο + τετράγωνο
Σχεδιάζουμε ένα τετράγωνο πλευράς 10 cm. Πάνω σε κάθε πλευρά του εξωτερικά κατασκευάζουμε ένα ημικύκλιο με ακτίνα ίση με την πλευρά.
Να βρεθεί το συνολικό μήκος της κόκκινης γραμμής που σχηματίζεται από τα τέσσερα τόξα (περίμετρος του “λουλουδιού”).
- Δύο ημικύκλια – περίμετρος “σταδίου”
Ένα στάδιο αποτελείται από ένα ορθογώνιο μήκους 20 m και πλάτους 10 m, με δύο ημικύκλια στις μικρές πλευρές (διάμετρος = πλάτος).
Βρες την περίμετρο του σταδίου.
- Ένας τομέας κύκλου ακτίνας (ρ = 12) cm έχει γωνία (120^).
Πάνω στη χορδή του τόξου κατασκευάζουμε, προς τα έξω από τον τομέα, ένα ισόπλευρο τρίγωνο (με βάση τη χορδή).
Να βρεθεί η περίμετρος του σύνθετου σχήματος που αποτελείται από: - το τόξο του τομέα - τις δύο ίσες πλευρές του ισόπλευρου τριγώνου (χωρίς τη βάση) (Πράσινο χρώμα)
Λύση
1. Μήκος τόξου
begin{equation}
Γωνία \(\theta = 120^\circ = \frac{2\pi}{3}\) rad
\(l_{\text{τόξου}} = ρ \cdot \theta = 12 \cdot \frac{2\pi}{3} = 8\pi \text{ cm}\) end{equation}
2. Μήκος χορδής (βάση τριγώνου) Σχεδιάζουμε το ύψος ΑΔ ==> ΒΒ’=2ΒΔ και χρησιμοποιούμε τριγωνομρτρία \(\text{χορδή} = 2ΒΔ=2ρ ημ(\frac{\theta}{2}) = 2 \cdot 12 \cdot ημ(60^\circ) = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \text{ cm}\)
3. Πλευρές ισόπλευρου τριγώνου
Οι δύο πλευρές που δεν είναι βάση είναι ίσες με τη βάση (ισόπλευρο):
\(ΒΓ=Β'Γ=ΒΒ' = 12\sqrt{3} \text{ cm}\)
Άρα οι δύο αυτές πλευρές μαζί: \(ΒΓ+Β'Γ = 24\sqrt{3} \text{ cm}\)
4. Περίμετρος ζητούμενου σχήματος
\(\Pi = L_{\text{τόξου}} + ΒΓ+Β'Γ = 8\pi + 24\sqrt{3} \text{ cm}\)
Αριθμητικά: \(8\pi \approx 25,13, \quad 24\sqrt{3} \approx 41,57\)
\(\Pi \approx 66,70 \text{ cm}\)
- Τρεις κύκλοι εφαπτόμενοι – τμήμα περιμέτρου
Τρεις ίσοι κύκλοι ακτίνας (ρ = 6) cm εφάπτονται εξωτερικά μεταξύ τους, σχηματίζοντας ένα ισόπλευρο τρίγωνο με τα κέντρα τους. Μεταξύ των κύκλων σχηματίζονται “καμπύλες κόκκινα και πράσινα χρώματα” (σχήμα Reuleaux).
Βρες το μήκος των κόκκινων και πράσινων τόξων.
- Τεταρτοκύκλιο και ορθογώνιο
Ορθογώνιο μήκους 15 cm και πλάτους 8 cm. Στη μία μεγάλη πλευρά (μήκος) εξωτερικά και με κέντρο την κορυφή του ορθογωνίου, προσαρμόζεται τεταρτοκύκλιο ακτίνας 8 cm (ακτίνα = πλάτος).
Βρες την περίμετρο του νέου σχήματος.
- Μήκος τόξου από χορδή
Σε κύκλο ακτίνας 10 cm, μια χορδή έχει μήκος 10 cm.
Πόσο είναι το μήκος του μικρότερου τόξου που αντιστοιχεί στη χορδή;
(Υπόδειξη: βρες γωνία από ισόπλευρο τρίγωνο)
- Τέσσερα ημικύκλια – περίμετρος σχήματος
Σχεδιάζουμε τετράγωνο πλευράς 12 cm. Σε κάθε πλευρά του, εσωτερικά του τετραγώνου, κατασκευάζουμε ημικύκλιο με διάμετρο την πλευρά.
Βρες την περίμετρο του εσωτερικού σχήματος κόκκινο χρώμα που σχηματίζεται (τα 4 ημικύκλια τέμνονται).
- Μετάβαση από μοίρες σε ακτίνια σε σύνθετο σχήμα
Ένα σκαθάρι περπατάει σε κυκλική τροχιά ακτίνας 5 m κινείται από σημείο Α σε σημείο Β διαγράφοντας τόξο (\(72^\circ\)), μετά σε ευθεία ΒΓ μήκους 6 m, και τέλος διαγράφι ένα τόξο ΓΔ ( \(\frac{5\pi}{6}\) ) rad. Τα τόξα είναι ίδιας ακτίνας.
Βρες το συνολικό μήκος διαδρομής.
Λύση
Τόξο \(72° = 72\cdot\dfrac{\pi}{180} = \dfrac{2\pi}{5} rad → μήκος =5\cdot \dfrac{2\pi}{5} = 2\pi \approx 6,28 m\).
Τόξο \(\dfrac{5\pi}{6} rad → μήκος =5\cdot \dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{25\pi}{6} \approx 13,09 m\).
Ευθύγραμμο τμήμα 6 m.
Σύνολο: \(2\pi + 6 + \dfrac{25\pi}{6} = (\dfrac{12\pi}{6} + \dfrac{25\pi}{6}) + 6 = \dfrac{37\pi}{6} + 6 \approx 19,37 + 6 = 25,37\) m.